第 2 课时 椭圆方程及性质的应用 1.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用． 2.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定．3．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题．1．点与椭圆的位置关系点 P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在椭圆上⇔＋＝1；点 P 在椭圆内部⇔＋<1；点 P 在椭圆外部⇔＋>1.2．直线与椭圆的位置关系直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立，消去 y(或 x)得一个关于 x(或 y)的一元二次方程．位置关系解的个数Δ 的取值相交两个解Δ>0相切一个解Δ＝0相离无解Δ<01．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆＋＝1 的位置关系为( )A．相切 B．相交C．相离 D．不确定解析：选 B.直线 y＝kx－k＋1 恒过定点(1，1)．又因为＋＜1，所以点(1，1)在椭圆＋＝1 的内部，所以直线 y＝kx－k＋1 与椭圆相交．故选 B.2．过椭圆＋＝1 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为( )A．5 B．6C. D．7解析：选 C.椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为 k＝1，所以直线 AB 的方程为 y＝x－4，由得 9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝.3．若直线 y＝x＋与椭圆 x2＋＝1(m＞0 且 m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )A．1 B.C．2 D．2解析：选 D.由得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，由 Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得 m2＝5，1所以椭圆的长轴长为 2. 直线与椭圆的位置关系 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点．【解】 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组消去 y，得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①方程①的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当 Δ>0，即－3
