2.3 总体特征数的估计名师导航三点剖析 在初中我们知道，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平，由于对 很 多 总 体 来 说 ， 它 的 平 均 数 不 易 求 得 ， 常 用 容 易 求 得 的 样 本 平 均 数 :对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体平均数的大小. 一、平均数 1．平均数定义 若给定一组数据 x1，x2，…，xn，则称 (i=1，2，3，…，n)为这组数据x1，x2，…，xn的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时，我们一般用此公式来求这组数据的平均数.这里(x1+x2+…+xn).平均数反映了一组数据的集中趋势，我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平. 当一组数据中的重复数据过多时，若用上面公式求这组数据的平均数，其过程就会显得比较复杂和冗长，为了简化计算过程，我们引入下面这种计算平均数的方法: 一般地，若取值为 x1，x2，…，xn 的频率分别为 p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn.这一公式实质上就是公式的一个变形，它主要用于含有重复数据的数据组求平均数. 除此之外，当所给数据在某一常数 a 的上下波动时，我们也可利用公式:,其中 (x1′+x2′+…+xn′)，x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a，…，xn′=xn-a；常数a 通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数. 例如:求数据 70，71，72，73 的平均数时，我们可以先求出 0，1，2，3 的平均数，然后将此平均数加上 70 即得该组数据的平均数. 2．平均数的性质 (1)若给定一组数据 x1，x2，…，xn的平均数为，则 ax1，ax2，…，axn的平均数为 a； (2)若给定一组数据 x1，x2，…，xn的平均数为，则 ax1+b，ax2+b，…，axn+b 的平均数为 a+b； 二、极差、方差与标准差 在初中我们知道，极差、方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数. 1．极差的定义 一组数据的最大值和最小值的差叫极差.极差也可以对两组数据的集中程度进行对比，且比较简单.但两组数据的集中程度差异不大时，利用它就不易得出结论了.而且它只利用了数据中的最大值和最小值，对极值过于敏感.但由于只涉及到了两个数据，便于得到.所以极差在实际中也经常用到. 例如:数据:25,41,37,22,14,19,39,21,42,40 中的最大值为 42，最小值为 14，它的极差为 42-14=28． 2．方差的定义 在一组数据 x1,x2,…,xn中，各数据与它们的平均数的差的...
