高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义与标准方程学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

2．2.1 双曲线的定义与标准方程 1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题．1．双曲线的定义平面上到两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值为定值(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点(± c ， 0 ) (0 ， ± c ) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b21．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c 之间的关系与椭圆中 a，b，c 之间的关系相同．( )(2)点 A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点 C 的轨迹是双曲线．( )(3)在双曲线标准方程－＝1 中，a>0，b>0 且 a≠b.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．已知平面上定点 F1、F2及动点 M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M点轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B.根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲⇒乙，只有当 0＜2a<|F1F2|时，其轨迹才是双曲线．3．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A．(－，0)，(，0)B．(－5，0)，(5，0)C．(0，－5)，(0，5)D．(0，－)，(0，)答案：B4．双曲线的两焦点坐标是 F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1答案：A5．设双曲线－＝1 的右支上一点 P 到左焦点 F1的距离是 15，则 P 到右焦点 F2的距离是________．答案：71 求双曲线的标准方程 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点 P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上；(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在 x 轴上．【解】 (1)设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．因为 P、Q 两点在双曲线上，所以解得所以所求的双曲线方程为－＝1.(2)因为焦点在 x 轴上，c＝，所以设所求双曲线方程为－＝1(其中 0<λ<6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以－＝1，所以 λ＝5 或 λ＝30(舍去)．所以所求双曲线方程是－y2＝1.求双曲线标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论． (3)...