2．2.1 椭圆的标准方程 [学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 椭圆的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 ( 大于 F 1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝1 (a>b>0)＋＝1 (a>b>0)焦点( － c, 0) ， ( c, 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c ) a、b、c 的关系c 2 ＝ a 2 － b 2 c 2 ＝ a 2 － b 2 思考 (1)椭圆定义中，将“大于 F1F2”改为“等于 F1F2”或“小于 F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之和等于 F1F2时，动点的轨迹就是线段 F1F2；当距离之和小于 F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b 的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和是 10；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为 2a＝10，所以 a＝5.又因为 c＝4，所以 b2＝a2－c2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要注意 a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A(，－2)和 B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．解 方法一 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方...
