高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充互动课堂学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

3.1 数系的扩充互动课堂疏导引导1.复数概念的理解及两复数相等的条件 引进了虚数单位 i 之后，对于方程 x2+1=0，当 x=i 时，x2+1=0 成立，因此 i 是方程 x2+1=0的一个根.由于 i 可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如 a+bi(a、b∈R)的数——复数. 复数包括实数和虚数.两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系 上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图，3.数的发展过程)0,0()0,0()0()0,0()0,0()0,0()0(),(babababababbRbabia非纯虚数纯虚数虚数负实数零正实数实数复数4.注意问题 本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数 bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,认为形如 bi 的数就是纯虚数,要注意 b∈R,且 b≠0. 复数 z=a+bi(a、b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握. 要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它. 对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明：(1)根据复数相等的定义知,在 a=c,b=d 两式中,只要有一个不成立,那么 a+bi≠c+di.(2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：① 对于任意实数 a、b 来说,a＜b,a=b,b＜a 这三种情况有且只有一种成立;② 若 a＜b,b＜c,则 a＜c;③ 若 a＜b,则 a+c＜b+c;④ 若 a＜b,c＞0,则 ac＜bc.1规律总结1.设 z=a+bi(a,b∈R)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法.2.两共轭复数在复平面内的对应点关于 x 轴对称，因此，它们的和为实数，差为 0 或纯虚数，积为实数.3.实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数.4.数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等.活学巧用例 1 实数 k 为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?解：...