高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

2．3.1 双曲线的标准方程 [学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 双曲线的定义平面内到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点 F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二 双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1( a >0 ， b >0) －＝1( a >0 ， b >0) 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0 ，－ c ) ，F2(0 ， c ) 焦距F1F2＝2ca、b、c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 思考 (1)双曲线定义中，将“小于 F1F2”改为“等于 F1F2”或“大于 F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之差等于 F1F2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是 F1、F2，当距离之差大于 F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b 的值及焦点所在的位置．题型一 求双曲线的标准方程例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点 P(3，)，Q(－，5)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点 P(3，)和 Q(－，5)在双曲线上，所以解得 (舍去)．若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将 P、Q 两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.方法二 设双曲线方程为＋＝1(mn<0)． P、Q 两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二 焦点在 x 轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中 0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出 a，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定 m、n，避免了讨论，从而简化求解过程．跟踪训练 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)...