高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程学案（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二第一册数学学案

2.4.2 圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？(2)把 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？这就是今天我们将要研究的问题．圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为 r＝.(2)对方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的讨论①D2＋E2－4F＞0 时表示圆．②D2＋E2－4F＝0 时表示点.③D2＋E2－4F＜0 时，不表示任何图形．思考：方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什么？[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆．( )(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．( )(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．( )(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．( )[提示] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．若方程 x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0 表示圆，则 λ 的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪D．RA [因为方程 x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0 表示圆，所以 D2＋E2―4F＞0，即 4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得 λ＞1，即 λ 的取值范围是(1，＋∞)．故选 A.]3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________． [圆的方程整理为 x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得 2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.]4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．x2＋y2－4x－6y＝0 [三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径 r＝＝.∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为 x2＋y2－4x－6y＝0.]圆的一般方程的认识【例 1】 (1)若方程 x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值范围是________．(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；② 2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③ x2＋y2＋2ax＝0.(1)(－∞，1) [把方程配方得(...