5.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)1. 借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．2. 通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.学习了 y＝sin x，y＝cos x 的图象与性质后，明确了 y＝sin x，y＝cos x 的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．问题：类比 y＝sin x，y＝cos x 的图象与性质．(1)y＝tan x 是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图象是连续的吗？提示：(1)y＝tan x 是周期函数，且 T＝π，无最大、最小值．(2)正切函数的图象在定义域内不是连续的．正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域 值域R周期π奇偶性奇函数对称中心， k ∈ Z 单调性在开区间，k∈Z 内都是增函数1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是 R.( )(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( )(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 x＝kπ±，k∈Z.( )(4)正切函数是增函数．( )[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以 2π 为周期；③是奇函数的是( )A．y＝tan x B．y＝cos xC．y＝tan D．y＝－tan xC [A，D 的周期为 π，B 中函数在上递减，故选 C.]3．函数 y＝tan 3x 的定义域为 ． [因为 3x≠kπ＋，k∈Z，所以 x≠π＋，k∈Z.]4．函数 y＝tan 的单调增区间是 ．，k∈Z [令 kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得 kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z即函数 y＝tan 的单调增区间是，k∈Z.]有关正切函数的定义域、值域问题【例 1】 (1)函数 y＝的值域是( )A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)(2)函数 y＝3tan 的定义域为 ．(3)函数 y＝＋lg(1－tan x)的定义域为 ．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(1)B (2)(3) [(1)当－＜x＜0 时，－1＜tan x＜0，∴＜－1；当 0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1.即当 x∈∪时，函数 y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得 x≠－4kπ－，k∈Z，所以函数的定义域为.(3...
