2．4.1 抛物线的标准方程 [学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一 抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．知识点二 抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2 ＝ 2 px ( p >0) (，0)x＝－y 2 ＝－ 2 px ( p >0) (－，0)x＝x 2 ＝ 2 py ( p >0) (0，)y＝－x 2 ＝－ 2 py ( p >0) (0，－)y＝思考 (1)抛物线的标准方程 y2＝2px(p>0)中 p 的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案 (1)焦点到准线的距离．(2)不一定．当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；l不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线．题型一 求抛物线的标准方程例 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为 y＝－1；(3)过点 A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为 y2＝－8x.(2) 焦点在 y 轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为 x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，将点 A(2,3)的坐标代入，得 32＝m·2 或 22＝n·3，∴m＝或 n＝.∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x 或 x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知 p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x 或 y2＝－5x 或 x2＝5y 或 x2＝－5y.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2＝ay(a≠0)．跟踪训练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上．解 (1)方法一 点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px (p>0)或 x2＝－2p1y (p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即 2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x 或 x2＝－y.方法二 点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为 y2＝...
