高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 3 课时 两角和与差的正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.根据同角三角函数的商数关系 tan θ＝，怎样由 sin(α＋β)以及 cos(α＋β)的公式将 tan(α＋β)用 tan α，tan β 来表示？如何将 tan(α－β)用 tan α，tan β 来表示？提示：tan(α＋β)＝＝＝＝，tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－11．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )(2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )(3)tan(α＋β)＝等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )[提示] (1)√.当 α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是 α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当 α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以 1－tan αtan β 可得后一个式子．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( )A．2 B．1 C. D．4C [ tan(α＋β)＝＝4，且 tan α＋tan β＝2，∴＝4，解得 tan αtan β＝.]3．求值：tan＝ .－2＋ [tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.]4．已知 tan α＝3，则 tan＝ .－2 [tan＝＝＝－2.]两角和与差的正切公式的正用【例 1】 (1)已知 α，β 均为锐角，tan α＝，tan β＝，则 α＋β＝ .(2)如图，在△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则 tan∠BAC＝ .[思路点拨] (1)先用公式 T(α＋β)求 tan(α＋β)，再求 α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD 的正切值，再依据 tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1) (2) [(1) tan α＝，tan β＝，∴tan(α＋β)...