高中数学 第2章3.1从速度的倍数到数乘向量导学案 北师大版必修4

第 2 章 平面向量§3.1 从速度的倍数到数乘向量【学习目标】1.掌握数与向量积的定义以及运算律，理解其几何意义；2.了解向量的线性运算及其几何意义；了解两个向量共线的判定定理及性质定理；3.了解平面向量的基本定理及其意义【学习重点】理解实数与向量积的定义、运算律，向量共线的判定、性质以及基本定理；【学习难点】理解向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本定理【知识衔接】什么是向量加法和减法的三角形法则 ？什么是向量加法的平行四边形法则？【学习过程】1．思考:已知非零向量a ， 作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=BCABOA=a+a+a=3aPN =MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a 讨论：① 3a与a方向相同且|3a|=3|a| ② 3a与a方向相反且|3a|=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积；实数 λ 与向量a的积，记作：λa 定义：实数 λ 与向量a的积是一个向量，记作：λa ①|λa|=|λ||a|②λ>0 时 λa与a方向相同；λ<0 时 λa与a方向相反；λ=0 时 λa=0。思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）。证明略。结合律：λ(μa)=(λμ)a ①第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②第二分配律：λ(a+b )=λa+λb ③例1，设 a、b 为向量，计算下列各式：3.（分析向量共线的充要条件）若有向量a(a0)、b ，实数 λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a与b 为共线向量若a与b 共线(a0)且|b |：|a|=μ，则当a与b 同向时b =μa；当a与b 反向时b=μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 λ，使b =λa. 用心 爱心 专心1a a aOABCaaaaNMQP例 3.（P97 例 3 改编）如图：OA ，OB 不共线，P 点在 AB 上，求证：存在实数1. 且使OBOAOP（证明过程与 P97例 3 完全类似；略）【巩固练习】【学后反思】【作业布置】1. 2. 用心 爱心 专心2PBAO