2．6.2 求曲线的方程[学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．知识点一 坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f ( x ， y ) ＝ 0 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．知识点二 解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点三 求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系；(2)设曲线上任意一点 M 的坐标为(x，y)；(3)列出符合条件 P(M)的方程 f ( x ， y ) ＝ 0 ；(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案 (1)可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．(2)不一样．若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．题型一 直接法求曲线方程例 1 动点 M 与距离为 2a 的两个定点 A，B 的连线的斜率之积等于－，求动点 M 的轨迹方程．解 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设 M(x，y)为轨迹上任意一点，则 kMA＝，kMB＝(x≠±a)． kMA·kMB＝－，∴·＝－，化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．∴点 M 的轨迹方程为 x2＋2y2＝a2(x≠±a)．反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成 x，y 的形式 F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．跟踪训练 1 已知在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，点 A(－1,0)，点 B(1,0)，求满足条件的点 C 的轨迹方程．解 如图，设 C(x，y)， 则AC＝(x＋1，y)，BC＝(x－1，y)． ∠C 为直角，∴AC⊥BC，即AC·BC＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得 x2＋y2＝1. A、B、C 三点要构成三...
