高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题学案（含解析）新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二第二册数学学案

5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题学 习 目 标核 心 素 养1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象的核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加 ，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？1．平均变化率对于函数 y＝f (x)，从 x1到 x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝x2－ x 1.(2)函数值的改变量：Δy＝f ( x 2) － f ( x 1)．(3)平均变化率＝＝.思考：Δx，Δy 以及平均变化率一定为正值吗？[提示] Δx，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但 Δx 不能为零，平均变化率可正可负可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数 f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f (x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在Δx→0 时的极限，即lim ＝lim .3．曲线的切线斜率(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线 P0P 的斜率．(2)当 P 点逐渐靠近 P0点，即 Δx 逐渐变小，当 Δx→0 时，瞬时变化率lim 就是 y＝f (x)在 x0处的切线的斜率即 k＝lim .思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？[提示] 不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在 x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 趋近于零时表示 Δx＝0．( )(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．( )(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．( )(4)函数 y＝f (x)在某 x＝x0的切线斜率可写成 k＝lim ．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．函数 y＝f (x)，自变量 x 由 x0改变到 x0＋Δx 时，函数的改变量 Δy 为( )A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋ΔxC．f (x0)·...