高中数学第一章不等关系与基本不等式 2 2.1 绝对值不等式教学案北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学教学案

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2025-09-14 发布于山西
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§1 不等式的性质[对应学生用书 P1]1．实数大小的比较求差法a>b⇔a － b >0 ；a0，b>0 时，2．不等式的性质(1)性质 1(对称性)：如果 a>b，那么 b < a ；如果 b b .(2)性质 2(传递性)：如果 a>b，b>c，那么，a > c .(3)性质 3(加法性质)：如果 a>b，那么 a ＋ c > b ＋ c .① 移项法则：如果 a＋b>c，那么 a > c － b .② 推论(加法法则)：如果 a>b，c>d，那么 a ＋ c > b ＋ d .(4)性质 4(乘法性质)：如果 a>b，c>0，那么 ac > bc ，如果 a>b，c<0，那么 acb>0，c>d>0，那么 ac ＞ bd .② 推论 2(平方法则)：如果 a>b>0，那么 a2>b2.③ 推论 3(乘方法则)：如果 a>b>0，那么 an>bn(n 为正整数)．④ 推论 4(开方法则)：如果 a>b>0，那么 a>b(n 为正整数)．1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如： a>b 且 cb 且－c>－d，⇒a－c>b－d.3．若 a>b>0，当 n<0 时，an>bn成立吗？提示：不成立，如当 a＝3，b＝2，n＝－1 时，3－1＝<＝2－1.[对应学生用书 P1]比较大小[例 1] (1)比较 a4－b4与 4a3(a－b)的大小．(2)设 a＞0，b＞0，求证：aabb≥(ab).[思路点拨] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．[精解详析] (1)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)＝(a－b)[(a＋b)(a2＋b2)－4a3]＝(a－b)(a3＋ab2＋ba2＋b3－4a3)＝(a－b)[(ab2－a3)＋(ba2－a3)＋(b3－a3)]＝(a－b)(a－b)[－a(a＋b)－a2－(a2＋b2＋ab)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[(a＋)2＋b2]≤0(当且仅当 a＝b 时取等号)．∴a4－b4≤4a3(a－b)．(2)证明： aabb＞0，(ab)＞0，∴＝a·b＝.① 当 a＝b 时，显然有()＝1，② 当 a＞b＞0 时，＞1，＞0，③ 当 b＞a＞0 时，0＜＜1，＜0.由指数函数的单调性，②③均有＞1.综上可知，对任意正数 a，b，都有 aabb≥(ab)...

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