高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 3 第1课时 平均值不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案VIP专享

第 1 课时 平均值不等式学习目标 1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题．知识点一 二元平均值不等式思考 回顾 a2＋b2≥2ab 的证明过程，并说明等号成立的条件．答案 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab.梳理 (1)重要不等式定理 1：对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．(2)二元平均值不等式① 定理 2：对任意两个正数 a，b，有≥(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号)．② 定理 2 的应用：对两个正实数 x，y，(ⅰ)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x ＝ y 时，它们的积 P 取得最大值；(ⅱ)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x ＝ y 时，它们的和 S 取得最小值．知识点二 三元平均值不等式思考 类比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出 a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式．答案 ≥.梳理 (1)定理 3：对任意三个正数 a，b，c，有 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．(2)定理 4：对任意三个正数 a，b，c，有≥(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．(3)平均值不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an(n≥2)，把数值，分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值，且有≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an时取“＝”号.类型一 平均值不等式成立的条件例 1 给出以下说法：①任意 x>0，lgx＋≥2；②任意 x∈R，ax＋≥2(a>0 且 a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意 x∈R，sinx＋≥2.其中正确的是( )A．③B．③④C．②③D．①②③④答案 C解析 在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定 lg x>0，sin x>0，因此①④错误；在②中，ax>0，ax＋≥2＝2，当且仅当 x＝0 时取等号，故②正确；在③中，当 x∈时，tan x>0，有 tan x＋≥2，当且仅当 x＝时取等号，故③正确．故选 C.反思与感悟 平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数．(2)当且仅当各项均相等时，“＝”才能成立．跟踪训练 1 设 a，b 为实数，且 ab>0，下列不等式中一定成立的个数是( )①＋≥2；② a＋b≥2；③＋≥；④＋≥a＋b.A．1B．2C．3D．4答案 B解析 ab>0，∴＋≥2＝2，①成立；当 a，b<0 时，②不成立；＋≥，③成立；当 a＝－1，b＝－2 时，④不成立．因此，①③成立，故选 B.类型二 用平均值不等式证明不等式例 2 已知 a，b，c∈R...