6．3 数学归纳法 1.弄清数学归纳法的适用范围，理解数学归纳法的步骤特点． 2.会用数学归纳法证明与自然数有关的命题．数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0( n 0∈ N ＋)时结论成立；(2)(归纳递推)假设当 n ＝ k ( k ≥ n 0， k ∈ N ＋)时结论成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证 n＝1 时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案：D 用数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当 n＝k＋1 时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何 n∈N*都成立．用数学归纳法证明等式的方法1 用数学归纳法证明对 n∈N*都有＋＋＋…＋＝.证明：(1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．所以 n＝1 时，等式成立．(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝＝，所以 n＝k＋1 时，等式成立．由(1)(2)知＋＋＋…＋＝. 用数学归纳法证明不等式 求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝＋＋＋＝，故左边＞右边，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋＞，则当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)＞＋(＋＋－)．(*)法一：(分析法)下面证(*)式≥，即＋＋－≥0，只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k...
