第 2 课时 平均值不等式求最值学习目标 1.理解用平均值不等式求最值所需条件.2.会用平均值不等式求最值.3.能用平均值不等式解决简单的实际问题．知识点 利用平均值不等式求最值思考 1 不等式＋≥2＝2 中的等号能否取到？为什么？答案 不能取到．若等号能取到需满足＝，得 x2＋2＝1，该方程无实数解，故所给不等式中的等号不能取到．思考 2 在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？答案 ①三个实数均为正数；②三个正数的和(或积)为定值；③三个正数可以相等．梳理 (1)设 x，y 都是正数，则有① 若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值；② 若 xy＝P(积为定值)，则当 x ＝ y 时，和 x＋y 取得最小值 2.(2)设 x，y，z 都是正数，则有① 若 x＋y＋z＝S(和为定值)，则当 x ＝ y ＝ z 时，积 xyz 取得最大值；② 若 xyz＝P(积为定值)，则当 x ＝ y ＝ z 时，和 x＋y＋z 取得最小值 3.类型一 利用平均值不等式求最值命题角度 1 二元平均值不等式的应用例 1 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求＋的最小值；(2)若 x＜0，求 f(x)＝＋3x 的最大值．解 (1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即 x＝，y＝时，等号成立，∴＋的最小值是 8.(2) x＜0，∴－x＞0, 故 f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.反思与感悟 在应用平均值不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正．(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．跟踪训练 1 已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＋xy＝30，求 x·y 的最大值．解 由 x＋2y＋xy＝30，得 y＝(0＜x＜30)，所以 x·y＝·x＝＝＝34－.因为 x＋2＋≥2＝16.可得 xy≤18，当且仅当 x＋2＝，即 x＝6，代入 y＝，得 y＝3 时，x·y取最大值 18.命题角度 2 三元平均值不等式的应用例 2 (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；(2)求函数 y＝x＋(x＞1)的最小值．解 (1) 1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.又 y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当 x－1＝x－1＝3－2x，即 x＝∈时，ymax＝.(2) x...
