高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式教学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学教学案VIP专享

§3 平均值不等式[对应学生用书 P12]1．定理 1对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号．2．定理 2(两个正数的平均值不等式)对任意两个正数 a，b，有≥，当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号．我们称为正数 a 与 b 的算术平均值，为正数 a 与 b 的几何平均值；因此定理 2 又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理 3对任意三个正数 a，b，c，有 a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取“＝”号．4．定理 4(三个正数的平均值不等式)对任意三个正数 a，b，c，有≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取“＝”号．这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．5．定理 2,4 的推广一般地，对 n 个正数 a1，a2，…，an(n≥2)，数值，，分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值．且有：≥ .当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，取“＝”号，即 n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．1．如何利用求差法证明定理 2?提示：因为－＝≥0，所以≥.2．由定理 1 与定理 2 能得到以下结论吗？(1)＋≥2(a，b 同号)；(2)≤≤≤ (a，b∈R＋)；(3)ab≤2≤(a>0，b>0)．提示：可以．3．利用定理 2,4 求最值需满足什么条件？提示：“一正二定三相等”．[对应学生用书 P13]用平均值不等式证明不等式[例 1] (1)已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；(2)设 a，b，c 都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．[精解详析] (1)a4＋b4≥2a2b2，同理 a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，将以上三个不等式相加得：a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.(2) 当 a＞0，b＞0 时，a＋b≥2，∴＋≥2 ＝2c.同理：＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.将以上三个不等式相加得：2≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．若将本例(1)中 a，b，c∈R，变为 a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≥＋＋.证明： a，b，c ...