7.2.2 同角三角函数关系学 习 目 标核 心 素 养1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点)2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．结合如图所示的单位圆，设点 P(x，y)为单位圆与角 α 的终边的交点，则 x，y 满足什么关系？设角 α 的终边与单位圆交于点 P，则点 P 的坐标是什么？那么 sin α 与 cos α 满足什么关系？tan α 与 sin α，cos α 之间满足什么关系？同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ．(2)商数关系：tan α＝．思考：sin2α＋cos2β＝1 恒成立吗？[提示] 不一定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角 α，sin23α＋cos23α＝1 都成立．( )(2)对任意角 α，＝tan 都成立．( )(3)sin α＝是 cos α＝的充分条件．( )[提示] (1)符合同角三角函数的关系．(2)等式＝tan 的条件是即 α≠π＋2kπ，k∈Z．(3)因为 α 的范围不明确，故 cos α＝±＝±，由 sin α＝不能推出 cos α＝．[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知 α 是第二象限角，且 cos α＝－，则 tan α＝ ．－2 [ α 是第二象限角，∴sin α＞0．又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝＝＝，∴tan α＝＝－2．]3．已知 tan α＝2，则＝ ．－ [由 tan α＝2 知 cos α≠0，所以＝＝－．]利用同角三角函数基本关系式求值【例 1】 (1)已知 sin α＝－，求 cos α，tan α 的值；(2)已知 sin α＋2cos α＝0，求 2sin αcos α－cos2α 的值．[思路点拨] (2)先由已知条件求出 tan α，再将式子化成关于 tan α 的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．[解] (1)因为 sin α＜0，sin α≠－1，所以 α 是第三或第四象限角．由 sin2α＋cos2α＝1 得 cos2α＝1－sin2α＝1－＝．如果 α 是第三象限角，那么 cos α＜0．于是 cos α＝－＝－，从而 tan α＝＝×＝．如果 α 是第四象限角，那么 cos α＝，tan α＝－．(2)法一：由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2．所以 2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1．法二：由 sin α＋2cos α＝0 得 2cos α＝－sin α，所以 2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．1．求三角...
