1．2 基本不等式 [读教材·填要点]1．定理 1设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．定理 2(基本不等式或平均值不等式)如果 a，b 为正数，则≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于( 即大于或等于 ) 它们的几何平均．3．定理 3(三个正数的算术—几何平均值不等式)如果 a，b，c 为正数，则≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立．4．定理 4(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥ 并且当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，等号成立．[小问题·大思维]1．在基本不等式≥中，为什么要求 a，b∈(0，＋∞)?提示：对于不等式≥，如果 a，b 中有两个或一个为 0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且 a，b 至少有一个为 0 时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定 a，b∈(0，＋∞)．2．满足不等式≥成立的 a，b，c 的范围是什么？提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.利用基本不等式证明不等式[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8.[思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘．[精解详析] a，b，c 为正实数，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8··＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8.1(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式．1．已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.证明： a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，①当且仅当 a＝b 时取等号．＋≥2>0，②当且仅当＝，即 a＝b 时取等号．①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当 a＝b 时取等号．∴(a＋b)≥4.利用算术—几何平均值不等式证明不等式[例 2] (1)已知 a，b，c∈R＋，求证：a2＋b2＋c2＋2≥6.(2)设 a1，a2，a3均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，求证：＋＋≥.[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用．解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．[精解详析] (1)a2＋b2＋c2＋2...
