高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

1．3 绝对值不等式的解法[读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a 与|x|≥a 的解集不等式a＞0a＜0|x|≤a[－a，a]∅|x|≥a(－∞，－a]∪[a，＋∞]R2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－ c ≤ ax ＋ b ≤ c ；(2)|ax＋b|≥c⇔ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c .3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原点 O 的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点与表示数 a，b 的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．含一个绝对值不等式的解法[例 1] 解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)≤.[思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．1[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组即解得－1≤x＜1 或 3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：① 或②由①得 3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜－(7＋x)，整理得 x＞2 或 x＜－4.∴原不等式的解集是{x|x＜－4 或 x＞2}．(3)① 当 x2－2＜0 且 x≠0，即当－＜x＜，且 x≠0 时，原不等式显然成立．② 当 x2－2＞0 时，原不等式与不等式组等价，x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，即 x≤－2 或 x≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)...