高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.2 综合法和分析法学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案VIP专享

1．5.2 综合法和分析法[读教材·填要点]1．综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．2．分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．[小问题·大思维]1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证 A 只需证 B”表示，说明只要 B 成立，就一定有 A 成立，所以 B 必须是 A 的充分条件才行，当然 B 是 A 的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．用综合法证明不等式[例 1] 已知 a，b，c 均为正实数，且互不相等，又 abc＝1.求证：＋＋<＋＋.[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过＝<实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[精解详析] 法一： a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.法二： a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞ ＋＋＝＋＋.1(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：① a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，()2≥ab.a2＋b2≥(a＋b)2.③ 若 a，b 为正实数，≥.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1．已知 a>0，b>0，求证 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为 b2＋c2≥2bc，a>0，所以 a(b2＋c2)≥2abc.又因为 c2＋a2≥2ac，b>0，所以 b(c2＋a2)≥2abc.因此 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.用分析法证明不等式[例 2] a，b 均为正实数，且 2c>a＋b.求证：c－