1.2 基本不等式(二)1.理解定理 3、定理 4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当 a、b、c∈R＋时，≥，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立，称为正数 a，b，c 的算术平均值，为正数 a、b、c 的几何平均值.2.如果 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，当且仅当 a1＝ a 2＝…＝ a n 时，等号成立.基础自测1.设 a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是( )A.a2＋b2≥2|ab| B.a＋b≥2C.a3＋b3＋c3≥3abc D.≥解析 由 a2＋b2－2|ab|＝|a|2－2|ab|＋|b|2＝(|a|－|b|)2≥0，故选 A.答案 A2.函数 y＝x2·(1－5x)的最大值为( )A. B. C. D.解析 由 y＝x2·(1－5x)＝·x·x(1－5x)≤＝.答案 A3.已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则 a 的最大值是________.解析 利用不等式求解.因为 a＋b＋c＝0，所以 b＋c＝－a.因为 a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以 2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以 3a2≤2，所以 a2≤，所以－≤a≤，所以 amax＝.答案 知识点 1 利用平均值不等式证明不等式【例 1】 已知 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥.证明 a＋b＋c＝1⇒(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2，1[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥3·3＝9⇒＋＋≥.●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a＋b＋c)≥(a，b，c∈R＋).证明 (a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，＋＋≥3，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.知识点 2 利用平均值不等式求最值【例 2】 若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，求 ab 的取值范围.解 方法一： a、b∈R＋，且 ab＝a＋b＋3≥3，∴a3b3≥81ab.又 ab>0，∴a2b2≥81.∴ab≥9(当且仅当 a＝b 时，取等号).∴ab 的取值范围是[9，＋∞).方法二： ab－3＝a＋b≥2，∴ab－2－3≥0 且 ab>0，∴≥3，即 ab≥9(当且仅当 a＝b 时取等号)∴ab 的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求 y＝sin xcos2x，x∈的最大值.解 x∈，∴sin x>0，y>0.y2＝sin2xcos4x＝≤＝＝＝.故 y≤ ＝，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝，y 有最大值.知识点 3 平均值不等式的实际应用...
