高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式（一）导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

1.2 基本不等式(一)1.理解并掌握定理 1、定理 2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理 1(重要不等式)：对于任意实数 a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立.2.定理 2(基本不等式)：如果 a，b 是正数，那么≤，当且仅当 a＝b 时，等号成立.3.我们常把叫做正数 a，b 的算术平均值，把叫做正数 a，b 的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若 x≥0、y≥0，且 xy＝p(定值)，则当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2.(2)若 x≥0、y≥0，且 x＋y＝s(定值)，则当 x＝y 时，xy 有最大值.基础自测1.设 02，a22ab，且 ab<.答案 B2.若实数 a，b 满足＋＝，则 ab 的最小值为( )A. B.2C.2 D.4解析 由条件＋＝知 a，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由＋＝知 a>0，b>0，所以＝＋≥2，即 ab≥2，当且仅当即 a＝，b＝2 时取“＝”，所以ab 的最小值为 2.答案 C3.若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________.解析 a>0，b>0，ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴()2－2＋3≥0，∴≥3 或≤－1(舍去)，∴ab≥9.答案 [9，＋∞)1知识点 1 不等式证明【例 1】 求证：＋a≥7 (其中 a>3).证明 ＋a＝＋(a－3)＋3，由基本不等式，得＋a＝＋(a－3)＋3≥2 ＋3＝2＋3＝7.当且仅当＝a－3，即 a＝5 时取等号. ●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：≥9.证明 方法一：＝1＋＋＋＝1＋≥1＋＝9.方法二：＝＝＝5＋2≥9.知识点 2 最值问题【例 2】 设 x，y∈R＋且＋＝3，求 2x＋y 的最小值.解 方法一：2x＋y＝·3(2x＋y)＝·(2x＋y)＝≥.当且仅当＝，即 x＝，y＝时，等号成立，∴2x＋y 的最小值为.方法二：设＝，＝则 x＝，y＝2x＋y＝＋＝＋≥，当且仅当 m＝n，即 x＝，y＝时，取得最小值.●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立...