高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

1.4 绝对值的三角不等式1.理解定理 1 及其几何说明，理解定理 2 及其 2 个推论.2.会用定理 1、定理 2 及其 2 个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a，b∈R，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立. 2.|a－b|表示 a－b 与原点的距离，也表示 a 与 b 之间的距离.3.a，b，c∈R，|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当( a － b )( b － c )≥0 ，即 b 落在 a，c 之间时等号成立.4.||a|－|b||≤|a＋b|；||a|－|b||≤|a－b|.基础自测1.对任意 x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A.1 B.2C.3 D.4解析 利用三角不等式直接求解. x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为 3.答案 C2.设 ab>0，下面四个不等式①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的是( )A.① 和② B.① 和③C.① 和④ D.② 和④解析 ab>0，①|a＋b|＝|a|＋|b|>|a|，正确，②|a＋b|＝|a|＋|b|>|b|，所以②错，③|a＋b|＝|a|＋|b|>|a－b|错，④|a＋b|＝|a|＋|b|≥|a－b|≥|a|－|b|对，所以①④正确应选 C.答案 C3.若函数 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为 5，则实数 a＝________.解析 根据去绝对值符号后函数的图象求解.由于 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当 a>－1 时，f(x)＝1作出 f(x)的大致图象如图所示，由函数 f(x)的图象可知 f(a)＝5，即 a＋1＝5，∴a＝4.同理，当 a≤－1 时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案 －6 或 4知识点 1 利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例 1】 已知|x|<1，|y|<1，求证：≤1.分析：本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明 |x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔ ≤|1－xy|所以≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即 1－xy≠0.●反思感悟：通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.证明 |x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.知识点 2 利用绝对值的三角不等式证明函数不等式【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0，1]，f(0)＝...