高中数学 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积知识导航学案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案

1.3 空间几何体的表面积与体积知识梳理 1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环. 2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和. 3.设直棱柱的底面周长为 C,高为 h 则 S 直棱柱侧=Ch. 4.设正棱锥的底面周长为 C,斜高为 h′,则 S 正棱锥侧=Ch′. 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为 C、C′,斜高为 h′,则 S 正棱台侧=(C+C′)h′. 6.设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则圆柱的侧面积 S 侧=2πrl,圆柱的表面积S=2πrl+2πr2.7.设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则圆锥的侧面积 S 侧=πrl,圆锥的表面积 S=πrl+πr2 8.设圆台的上、下底面的半径分别为 r1、r2,母线长为 l,则圆台的侧面积 S 侧=π(r1+r2)l,圆台的表面积 S=π(r1+r2)l+π(r12+r22). 9.设柱体的底面积为 S,高为 h,则 V 柱体=Sh;设锥体的底面积为 S,高为 h,则 V 锥体=Sh;设台体的上、下底面的面积分别为 S 上,S 下,高为 h,则 V 台体= (S 上+S 下+)h. 10.球的表面积和体积都是半径 R 的函数,其中 S 球面=4πR2,V 球=πR3.知识导学 要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系. 表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系. 几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同.疑难突破1.如何得到台体的体积公式？剖析:如图 1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是 S′、S,高是 h,设截得台体时去掉的锥体的高是 x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则图 1-3-1V 台体=V 大锥体-V 小锥体=S(h+x)-S′x=［Sh+(S-S′)x］,而所 以, 于 是 有 x=代 入 体 积 表 达 式 得 V 台 体 =h ［ S+(S-S′)］=h［S+′+S′］. 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差....