高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教学案

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知 f(x)＝x，g(x)＝.问题 1：f(x)、g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.问题 2：若 Q(x)＝x＋，则 Q(x)的导数是什么？提示： Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.当 Δx 无限趋近于 0 时，无限趋近于 1－，∴Q′(x)＝1－.问题 3：Q(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有什么关系？提示：Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)．导数的运算法则设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则(1)[f(x)＋g(x)]′＝f ′( x ) ＋ g ′( x ) ；(2)[f(x)－g(x)]′＝f ′( x ) － g ′( x ) ；(3)[Cf(x)]′＝Cf ( x )′ (C 为常数)；(4)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；(5)′＝(g(x)≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及(5)′＝这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．求函数的导数[例 1] 求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝；(4)y＝xtan x.[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析] (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝(3x2＋x3)ex.(3)y′＝′＝＝＝－.(4)y′＝(x·tan x)′＝′＝＝＝.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若 f(x)＝x3＋2x＋1，则 f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝′＝′＋(2x)′＋1′＝x2＋2，所以 f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.答案：32．函数 y＝x(x2＋1)的导数是________．解析：y′＝[x(x2＋1)]′＝(x3＋x)′＝3x2＋1.答案：3x2＋13．求下列函数的导数：(1)y＝－2x；(2)y＝.解：(1)y′＝′－(2x)′＝－2xln 2＝－2xln 2＝...