1.2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书 P11]已知函数 f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题 2：试说明 g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？提示：函数 g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2 复合而成的．问题 3：试求 g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2 的导数．提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.问题 4：观察问题 3 中导数有何关系？提示：g′(x)＝g′(u)·u′.若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y ′ u· u ′ x，即 y′x＝y ′ u· a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．复合函数的求导[例 1] 求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中 ω、φ 为常数)；(4)y＝log2(5－3x)．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)y＝＝(2x＋3)－是函数 y＝u－，u＝2x＋3 的复合函数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.(2)y＝e－0.05x＋1 是函数 y＝eu，u＝－0.05x＋1 的复合函数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.(3)y＝cos(ωx＋φ)是 y＝cos u，u＝ωx＋φ 的复合函数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．(4)y＝log2(5－3x)是 y＝log2u，u＝5－3x 的复合函数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·＝＝.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数 f(x)＝ln，则 f′(x)＝________.解析：f(x)＝ln 是 f(u)＝ln u 与 u＝的复合函数，所以 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·′＝·＝－.答案：－2．函数 y＝sin3x＋sin x3的导数...
