第 2 课时 函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1 为什么不是最小值？答案 最大的函数值为 4，最小的函数值为 2.1 没有 A 中的元素与之对应，不是函数值．梳理 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足：(1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M.(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．如果存在实数 M 满足：(1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M.(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．知识点二 函数的最大(小)值的几何意义思考 函数 y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的 x 的值．答案 当 x＝±1 时，y 有最大值 1，对应的点是图象中的最高点，当 x＝0 时，y 有最小值0，对应的点为图象中的最低点．梳理 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．1．因为 f(x)＝x2＋1≥0 恒成立，所以 f(x)的最小值为 0.(×)2．f(x)＝(x>0)的最小值为 0.(×)3．函数 f(x)取最大值时，对应的 x 可能有无限多个．(√)4．如果 f(x)的最大值、最小值分别为 M，m，则 f(x)的值域为[m，M]．(×)类型一 借助单调性求最值例 1 已知函数 f(x)＝(x>0)．(1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数；(2)求函数 f(x)的最大值和最小值．考点 函数的最值及其几何意义题点 由函数单调性求最值(1)证明 设 x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且 x10，x1x2－1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．反思与感悟 (1)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则 f(x)的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．(2)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)．(3)若函数 y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．...
