高中数学 第一章 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性（第2课时）奇偶性的应用学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案VIP专享

第 2 课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广——对称性．知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．特别提醒：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数，未必有 f(0)＝0.知识点二 奇偶性与单调性思考 观察偶函数 y＝x2与奇函数 y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案 偶函数 y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数 y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．梳理 一般地，若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．知识点三 奇偶性的推广一般地，对于定义域内任意 x，(1)若 f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则 f(x)的图象关于点(a，b)对称．当 a＝b＝0 时，即为奇函数的定义．(2)若 f(a－x)＝f(a＋x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称，当 a＝0 时，即为偶函数的定义．1．奇函数 f(x)＝，当 x>0 时的解析式与 x<0 时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(×)2．对于偶函数 f(x)，恒有 f(x)＝f(|x|)．(√)3．若存在 x0使 f(1－x0)＝f(1＋x0)，则 f(x)关于直线 x＝1 对称．(×)4．对于定义域内任意 x，有 f(1－x)＝f(1＋x)，则 y＝f(1－x)与 y＝f(1＋x)关于直线 x＝1对称．(×)类型一 用奇偶性求解析式命题角度 1 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式例 1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，求当 x<0 时，f(x)的解析式．考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 设 x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为－x，此时－x ...