高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.1 单调性教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教学案

1.3.1 单 调 性[对应学生用书 P13]已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题 1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题 2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数 y1＝x 在 R 上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题 3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当 x>0 时，y2′>0，当 x<0 时，y2′<0，y3′＝－<0.问题 4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当 f′(x)>0 时，f(x)为增函数，当 f′(x)<0 时，f(x)为减函数．一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数 f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由 f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0.判断(或证明)函数的单调性[例 1] 讨论下列函数的单调性．(1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)．[思路点拨] 先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析] (1) y′＝5ax4且 a>0，∴y′≥0 在 R 上恒成立，∴y＝ax5－1 在 R 上为增函数．(2)y′＝axln a－a－xln a(－x)′＝(ax＋a－x)ln a，当 a>1 时，ln a>0，ax＋a－x>0，∴y′>0 在 R 上恒成立，∴y＝ax－a－x在 R 上为增函数．当 00，∴y′<0 在 R 上恒成立，∴y＝ax－a－x在 R 上为减函数．[一点通] 判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取 x1，x2，且 x1