高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极大值与极小值教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教学案

1．3.2 极大值与极小值[对应学生用书 P16]极 值已知 y＝f(x)的图象(如图)．问题 1：当 x＝a 时，函数值 f(a)有何特点？提示：在 x＝a 的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是 y＝f(x)的最小值．问题 2：当 x＝b 时，函数值 f(b)有何特点？提示：在 x＝b 的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是 y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点 P 附近，点 P 的位置最高，亦即 f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称 f(x1)为函数 f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中 f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极值与导数的关系观察图(Ⅰ)．问题 1：试分析在函数取得极大值的 x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于 0，右侧导数小于 0.问题 2：试分析在函数取得极小值的 x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于 0，右侧导数大于 0.1．极大值与导数之间的关系如下表：xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)增极大值 f(x1)减2．极小值与导数之间的关系如下表：xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)减极小值 f(x2)增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而 f(x4)>f(x1)．求函数的极值[例 1] 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.[思路点拨] 按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析] (1)函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋5 的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－6x－9.解方程 3x2－6x－9＝0，得 x1＝－1，x2＝3.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值 10极小值－22因此，函数 f(x)的极大值为 f(－1)＝10；极小值为 f(3)＝－22.(2)函数 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝.令 f′(x)＝0，解得 x＝e.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值因此函数 f(x)的极大值为 f(e)＝，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤...