1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导 1.任意角三角函数的定义设 P(a,b)是角 α 的终边与单位圆的交点,由 P 向 x 轴引垂线,垂足为 M.根据锐角三角函数的定义得sinα==b,cosα==a,tanα=. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图 1-2-2,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么图 1-2-2(1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα=y.(2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα=x.(3)叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα=.2.三角函数线 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x 轴的交点分别为 A(1,0)、A′(-1,0),与 y 轴的交点分别为 B(0,1)、B′(0,-1).设角 α 的顶点在圆心 O,始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点 P(如图 1-2-3(a)),过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点 P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα). 其中 cosα=OM,sinα=MP.这就是说角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点 A 的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T(T′)(图 1-2-3(b)),则 tanα=AT(AT′). 我们把轴上向量、、()叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.图 1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sinα=y,于是 sinα 的符号与 y 的符号相同,即当 α 是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α 是第三、四象限的角时,sinα＜0.cosα=x,于是 cosα 的符号与 x 的符号相同,即当 α 是第一、四象限角时,cosα＞0;当 α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=,当 x 与 y 同号时,它们的比值为正,当 x 与 y 异号时,它们的比值为负,即当 α 是第一、三象限角时,tanα＞0;当 α 是第二、四象限角时,tanα＜0. 规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一 由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)Sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanαk∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求 0 到 2π 角的三...
