高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案VIP专享

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂探究探究一 弧度制的概念必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强应用，才能快速地掌握该定义．【例 1】 下面各命题中，是假命题的为__________．(填序号)①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；② 1 度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于 π 弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径的大小有关．解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与所在圆的半径的大小无关，而是与圆心角的大小有关，所以④是假命题．答案：④点评 要记住 1°角及 1 rad 角的定义，以免概念混淆．探究二 角度制与弧度制的互化牢记关系式 180°＝π rad，它是推导角度与弧度换算公式的关键．利用 1°＝ rad 可将角度化成弧度；利用 1 rad＝°可将弧度化成角度．如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如，2 弧度化为度应是°＝°．【例 2】 (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π；(2)若角 β∈[－4π，0]，且角 β 与(1)中角 α 的终边相同，求角 β．分析：利用角度与弧度的关系将－1 480°化为弧度即可，由角 β 的范围及 β＝α＋2kπ(k∈Z)即可求出角 β．解：(1)因为－1 480°＝＝－10π＋，且 0≤<2π，所以－1 480°＝＋2×(－5)π．(2)因为角 β 与角 α 的终边相同，所以 β＝α＋2kπ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为 β∈[－4π，0]，所以 β1＝－2π＝，β2＝－4π＝．所以 β＝或．反思 在一定的约束条件下，求与角 α 终边相同的角，一般地，先将满足约束条件的角表示为 2kπ＋α(k∈Z)的形式，再在约束条件下确定 k 的值，进而求出满足条件的角．探究三 用弧度制表示角的集合用弧度制表示角的集合，实质是角度表示角的集合在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一．【例 3】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．分析：解：(1)如图(1)所示，以 OB 为终边的角为 225°，可看作－135°，因为－135°＝，135°＝，所以．(2)如图(2)所示．因为 30°＝，210°＝，所以∪＝∪＝．所以即为所求．反思 (1)表示角的集合时，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用．(2)进行区间合并...