高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.3 同角三角函数的基本关系式学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

1.2.3 同角三角函数的基本关系式基础知识基本能力1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等．(重点、难点)1．已知一个角的一个三角函数值，会求这个角的其他三角函数值．(重点)2．熟练掌握(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 在化简、求值、证明中的应用．(难点)1．同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.名师点拨(1)同角三角函数的基本关系式，反映了同角三角函数之间的内在联系．这里的“同角”，应作广义的理解，例如与，3α 与 3α 是同角，5β＋与 5β＋也是同角．(2)同角三角函数的基本关系式有着广泛的应用．比如可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值；还可以化简三角函数式以及证明有关的三角恒等式等．【自主测试 1－1】若 sin α＝－，α∈，则 tan α 等于( )A．－ B．－ C．－ D．－解析：因为 sin α＝－，α∈，所以 cos α＝＝.所以 tan α＝－.答案：D【自主测试 1－2】(tan x＋cot x)·cos2x 等于( )A．tan x B．sin xC．cos x D．cot x解析：(tan x＋cot x)·cos2x＝·cos2x＝·cos2x＝＝cot x.答案：D2．同角三角函数的基本关系式成立的条件当 α∈R 时，sin2α＋cos2α＝1 成立；当 α≠kπ＋(k∈Z)时，＝tan α 成立.【自主测试 2】＝cot α 成立的条件是__________．答案：α≠kπ(k∈Z)1．探索 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 之间的关系剖析： sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋2sin αcos α.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.同理可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.∴(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－＝－(sin α－cos α)2.∴sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值．这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视．2．同角三角函数关系式的应用指南剖析：(1)已知角 α 的一个三角函数值，求 α 的其余三角函数值时，要特别注意角 α所在的象限，以确定三角函数值的符号．一般有以下三种情况：① 已知三角函数值且角在某一确定的象限，这时只有一组解...