1.2.3 同角三角函数的基本关系式预习导航课程目标学习脉络1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α 及其公式的证明．2．会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ．即同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1．(2)商数关系：＝tan α．即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切．(3)倒数关系：tan_α ·cot _α ＝ 1 ．即同一个角的正切、余切之积等于 1(或同一个角的正切、余切互为倒数)．提示：(1)同角三角函数的基本关系式反映了同角三角函数之间的内在联系．这里的“同角”，应作广义的理解，例如，与是同角，3α 与 3α 是同角，5β＋与 5β＋也是同角．(2)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”号的选取．(3)上述三角函数关系式只需利用三角函数定义即可推导出来．2．同角三角函数的基本关系式成立的条件当 α∈R 时，sin2α＋cos2α＝1 成立；当 α≠kπ＋ (k∈Z)时，＝tan α 成立． 3．关系式的变形sin2α＋cos2α＝1⇒tan α＝⇒特别提醒 (1)使用变形公式 sin α＝±，cos α＝±时，“±”号由角 α 终边所在象限来确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变式用)．自主思考 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 之间有何关系？提示：因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋2sin αcos α．所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α．同理可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α．所以(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，sin αcos α＝ (sin α＋cos α)2－＝－ (sin α－cos α)2．所以 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值．这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视．
