1.3.3 已知三角函数值求角课堂导学三点剖析 一、已知正弦值求角 已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-,］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-,］上,用反正弦表示出来.【例 1】 已知 sinx=,(1)当 x∈［-,］时,求 x 的取值集合;(2)当 x∈［0,2π］时,求 x 的取值集合;(3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.思路分析:在函数 y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.解:(1) y=sinx 在［-,］上是增函数,且知 sin=,∴满足条件的角只有 x=.∴x 的取值集合为{}.(2) sinx=>0,∴x 为第一或第二象限角,且 sin=sin(π-)=.∴在［0,2π］上符合条件的角 x=或.∴x 的取值集合为{,}.(3)当 x∈R 时,x 的取值集合为{x|x=2kπ+或 x=2kπ+,k∈Z}.温馨提示(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n·,n∈Z}.一般地,对于 sinx=a(x∈R),|a|≤1,这个方程的解可表示成 x=2kπ+arcsina 或 x=2kπ+π-arcsina,k∈Z,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}.各个击破类题演练 1已知 sinA=0.501 8，求角 A.（利用计算器 ）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到 1°,则结果为 30°).温馨提示 任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升 1已知 sin,且 α 是第二象限的角,求角 α.思路分析:先求出,进而求出 α.解:首先确定所在象限. α 是第二象限的角,∴是第一或第三象限的角.又 sin=<0,∴是第三象限的角.然后在［0,2π)内找到满足条件的. sin=,∴在［0,2π)内满足条件的角是 π+=.再找到所有满足条件的角.∴=2kπ+(k∈Z).最后求出所有满足条件的角 α,∴α=4kπ+,k∈Z.温馨提示 本例中将看作一个整体,求出的所有角后,再求出 α. 二、已知角的余弦值求角 已知余弦值求角,可利用 y=cosx 的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx 的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.【例 2】 已知 cosx=-0.287,(1)当 x∈［0,π］时,求 x;(2)当 x∈R 时,求 x 的取值集合.思路分析:由于 cosx=-0.287,x 不是特...
