高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

第一章 常用逻辑用语1 解逻辑用语问题的三绝招1．化为集合——理清关系 充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A 是 B 的充分条件，即 A⊆B.(如图 1)②A 是 B 的必要条件，即 B⊆A.(如图 2)③A 是 B 的充要条件，即 A＝B.(如图 3) 图 1 图 2 图 3④A 是 B 的既不充分又不必要条件，即 A∩B＝或∅A、B 既有公共元素也有非公共元素．或例 1 “x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)解析 设命题 p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为 A、B，则 A＝{x|x≤1 或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A⊈B，B⊈A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．答案 既不充分又不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例 2 (1)已知命题 p：“任意 x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题 q：“存在 x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数 a 的取值范围为______________．(2)已知命题 p：“存在 x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题 q：“存在 x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数 a 的取值范围为____________．解析 (1)将命题 p 转化为“当 x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0”，即 1－a≥0，即 a≤1.命题 q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得 a≤－1 或 a≥2.综上所述，a≤－1.(2)将命题 p 转化为当 x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，即 4－a≥0，即 a≤4.命题 q 同(1)．1综上所述 a≤－1 或 2≤a≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是...