高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用互动课堂学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.6 三角函数模型的简单应用互动课堂疏导引导1.根据图象求函数解析式. 现实生产、生活和自然现象中,周期现象广泛存在.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,在说明周期变化规律、预测未来等方面都发挥着十分重要的作用.案例 1 如图 1-6-1,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.图 1-6-1【解】 (1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃.(2)从图中可以看出,从 6~14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将 x=6,y=10 代入上式,解得 φ=.综上,所求解析式为 y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.【规律总结】 在 y=Asin(ωx+φ)+b 中,各未知量的求法.(1)A 是振幅,即离开平衡位置的最大距离可直接观察得出,A=.(2)ω=,因此要先求 T.从图上观察一段图象,然后求出这段图象的长度.若这段图象是周期的 a 倍,则 a·T 等于这段图象的长度,从而求出 T.(3)b=.(4)确定 φ:根据图象提供的特殊点,如最值点或平衡点(如果图象没有 y 轴方向上的移动,就是与 x 轴的交点),与 y=sinx 的五个特殊点对应求解.2.利用函数图象解决问题.案例 2 作出函数 y=-sin|x|(-2π≤x≤2π)的简图.【解】y=如图 1-6-2 所示.图 1-6-2活学巧用1.已知如图 1-6-3,表示电流 I 与时间 t 的关系 I=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)在一个周期内的图象.图 1-6-3(1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段秒的时间内电流 I 能同时取得最大值 A 与最小值-A,那么 ω 的最小正值是多少?解析:(1)由图象知 A=300,T=-(-)=(秒).∴ω==100π.∴I=300sin(100πt+φ).则有 100π·(-)+φ=0.解得 φ=.∴I=300sin(100πt+).(2)欲使 I 在 t 的任意一段秒内能同时取到最大值 A 与最小值-A,必须且只需 I 的周期不大于,即 T=≤,解得 ω≥200π.∴ω 的最小正值为 200π.2.y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图 1-6-4,则( )图 1-6-4A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ=解析:∵T=2,∴T=8.又 T=,∴ω==.∴y=sin(x+φ).当 x=1 时, x+φ=,∴φ=.答案:C3.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k的取值范围是_______________.解析:数形结合法:f(x)=由图象 1-6-5 知 1＜k＜3.图 1-6-5答案:1＜k＜3