高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课堂导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1.6 三角函数模型的简单应用课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例 1】 某港口的水深 y（米）是时间 t(0≤t≤24,单位：小时）的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根 据 上 述 数 据 描 出 的 曲 线 如 下 图 所 示 ， 经 拟 合 ， 该 曲 线 可 近 似 地 看 成 正 弦 函 数y=Asinωt+b 的图象.(1)试根据以上数据，求出 y=Asinωt+b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于 4.5 米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数 y=Asinωt+b 中的 b，由 t=0 时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得 ω、A、b 的值，即得函数的表达式.(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于 4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.解:（1）从拟合曲线可知：函数 y=Asinωt+b 在一个周期内由最大变到最小需 9-3=6 小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为 12 小时，因此=12,ω=.又 当 t=0 时，y=10;当 t=3 时，ymax=13.∴b=10,A=13-10=3.于是所求的函数表达式为 y=3sinx+10.(2)由于船的吃水深度为 7 米，船底与海底的距离不少于 4.5 米，故在船舶航行时水深 y 应大于等于 7+4.5=11.5（米）.由拟合曲线可知，一天 24 小时，水深 y 变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨 3 点前进港，而从第二个周期中的下午 15 点后离港.令 y=3sinx+10≥11.5，可得 sinx≥.∴2kπ+≤x≤2kπ+ (k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).取 k=0，则 1≤x≤5；取 k=1，则 13≤x≤17.而取 k=2 时，则 25≤x≤29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨 1 点（1 点到 5 点都可以）进港，而下午的 17 点（即 13 点到 17 点之间）前离港，在港内停留的时间最长为 16 小时.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例 2】 如右图，某大风车的半径为 2 m，每 12 s 旋转一周，它的最低点 O 离地面 0.5 m.风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始，运动 t(s)后与地面的距离为 h(m).(1)求函数 h=f(t)的关...