1.3 三角函数的诱导公式疱工巧解牛知识•巧学一、公式二(π+α 与 α 的三角函数关系)1.公式sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα2.公式二的推导 设 β∈ ［ 0,2π),α∈ ［ 0,］ ， 则 以 下 四 种 情 形 中 有 且 仅 有 一 种 成立.β=α,β∈［0,)或 β=π-α,β∈［,π)或 β=π+α,β∈［π,)或 β=2π-α,β∈［,2π). 在以上四种情形中，π+α 的终边可由角 α 的终边按逆时针方向旋转 π rad 而得到，即角 π+α 终边上的点关于原点的对称点一定在角 α 的终边上. 如图 1-3-2，不妨设 α 为任意角，若角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则其反向延长线(即 π+α 角的终边)与单位圆交于点 P′(-x，-y).图 1-3-2 由于单位圆的半径是 1，即 r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=;sin(π+α)=-y，cos(π+α)=-x,tan(π+α)=.于是，我们得到公式二.特别地，由于角 π+α 与角 α 的终边关于原点对称，故有公式成立.二、公式三(-α 与 α 的三角函数关系)1.公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα2.公式三的推导 由于 360°-α 角是与-α 角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而 α与-α 是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然，α 角与-α 角的终边关于 x轴对称. 设角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，则角-α 的终边与单位圆的交点为 P′(x，-y)，如图 1-3-3.图 1-3-3 由 于 单 位 圆 的 半 径 r=1 ， 根 据 任 意 角 的 正 弦 、 余 弦 函 数 的 定 义 ， 可 得sinα=y，cosα=x，tanα=，sin(-α)=-y，cos(-α)=x，tan(-α)=. 于是，我们得到公式三.特别地,角-α 与角 α 的终边关于 x 轴对称,故有公式成立.学法一得 因为正、余弦函数的定义域是 x∈R，正切函数的定义域是 x≠+kπ,k∈Z，它们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数.三、公式四(π-α 与 α 的三角函数关系)1.公式sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα2.公式四的推导由于 sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，所以 sin(π-α)=sin［π+(-α)］=-sin(-α)=sinα，cos(π-α)=cos［π+(-α)］=-cos(-α)=-cosα，tan(π-α)=ta...
