1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书 P28]已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题 1：f(x) 和 F(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题 2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx 的值．提示：(2x＋1)dx＝6.问题 3：求 F(2)－F(0)的值．提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.问题 4：你得出什么结论？提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)，且 F′(x)＝f(x)．问题 5：已知 f(x)＝x3，F(x)＝x4，试探究 f(x)dx 与 F(1)－F(0)的关系．提示：因 f(x)dx＝x3dx＝.F(1)－F(0)＝，有 f(x)＝F(1)－F(0)且 F′(x)＝f(x)．微积分基本定理对于被积函数 f(x)，如果 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) ，即 F′(x)dx＝F ( b ) － F ( a ) ． 1．微积分基本定理表明，计算定积分 f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．求简单函数的定积分[例 1] 求下列定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sin x－cos x)dx；(3)(cos x－ex)dx.[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] (1)取 F(x)＝＋x2＋3x，则 F′(x)＝x2＋2x＋3，从而(x2＋2x＋3)dx＝F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝.(2)取 F(x)＝－cos x－sin x，则 F′(x)＝sin x－cos x，从而(sin x－cos x)dx＝F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.(3)取 F(x)＝sin x－ex，则 F′(x)＝cos x－ex，从而(cos x－ex)dx＝F′()dx＝F(0)－F(－π)＝－1.[一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若 f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝____________.解析： f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.∴f(x)dx＝－.答案：＝－2.(cos x＋1)dx＝________.解析： (sin x＋x)′＝cos x＋1，∴(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.答案：π3．求下列定积分：(1)sin2dx；(2)(2－x2)(3－x)dx.解：(1)sin2＝－，而′＝－cos x，所以 sin2dx＝dx＝＝－＝.(2)原式＝(6－2x－3x2＋x3)dx＝＝－＝－.求分段函数的定积分[例 2] (1)设 f(x)＝求 f(x...
