1.4 三角函数的图象与性质（第 2 课时）课堂探究探究一求三角函数的周期求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．【典型例题 1】 (1)函数 f(x)＝2sin的最小正周期为__________．(2)函数 f(x)＝的最小正周期是__________．思路分析：(1)可用周期函数的定义求解，也可用公式法求解；(2)可通过画图象求周期．解析：(1)∵ω＝，∴周期 T＝＝＝4π.(2)f(x)＝＝＝|cos x|，画出 f(x)图象如图所示，由图象知最小正周期为 π.答案：(1)4π (2)π探究二 函数周期性的应用1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其定义域内的有关性质．【典型例题 2】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈时，f(x)＝sin x，则 f的值为( )A．－ B. C．－ D. 解析：∵f(x)的最小正周期是 π，∴f＝f＝f.又∵f(x)是偶函数，∴f＝f＝sin＝.答案：B探究三易错辨析易错点：不清楚周期函数的定义【典型例题 3】 利用定义求 f(x)＝sin的最小正周期．错解：∵f(x＋2π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，∴T＝2π 是 f(x)的最小正周期．错因分析：错解中求的不是最小正周期．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其最小正周期为.正解：令 z＝2x－，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sin z 的周期是 2π，z＋2π＝＋2π＝2(x＋π)－，∴f(x＋π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)．∴f(x)的最小正周期是 T＝π.
