1.7.2 定积分在物理中的应用[学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．[知识链接] 下列判断正确的是________．(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 v(t)dt；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子 v(t)dt.答案 (1)(3)解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当 v(t)≥0 时，求某一时间段内的路程和位移均用 v(t)dt 求解；当 v(t)<0 时，求某一时间段内的位移用 v(t)dt 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－v(t)dt.所以(2)错(3)正确．[预习导引]1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻 t＝a 到时刻 t＝b所经过的路程 s 和位移 s′分别为：(1)若 v(t)≥0，则 s＝v ( t )d t ，s′＝v ( t )d t .(2)若 v(t)≤0，则 s＝－ v ( t )d t ，s′＝v ( t )d t .(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上 v(t)<0，则 s＝v ( t )d t － v ( t )d t ；s′＝v ( t )d t .2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝v(t)dt.(2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了s(单位：m)，则力 F 所作的功为 W＝Fs；而若是变力所做的功 W，等于其力函数 F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即 W＝F ( x )d x .要点一 求变速直线运动的路程、位移例 1 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移；(2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．解 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程1s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝－＝.当 t＝6 时，点 P 的位移为(8t－2t2)dt＝＝0.(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，即 4t2－t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6，t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t＝6 是所求的值．规律...
