第 1 课时 辗转相除法与更相减损术学习目标 1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理.2.会求两个数的最大公约数.3.体会案例中的数学素养．知识点一 辗转相除法1．辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．2．辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数 m ， n ( m > n ) ． 第二步，计算 m 除以 n 所得的余数 r .第三步，m ＝ n ， n ＝ r .第四步，若 r＝0，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步．思考 注意到 8251＝6105×1＋2146，那么 8251 与 6105 这两个数的公约数和 6105 与 2146的公约数有什么关系？答案 显然 8251 与 6105 的公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是8251 的约数，所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数．知识点二 更相减损术更相减损术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用 2 约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．1．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．( √ )2．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．( × )3．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．( √ )题型一 辗转相除法例 1 试用辗转相除法求 228 与 1995 的最大公约数．解 1995＝8×228＋171，228＝1×171＋57，171＝3×57，所以 228 与 1995 的最大公约数为 57.反思感悟 辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数．跟踪训练 1 用辗转相除法求 204 与 85 的最大公约数时，需要做除法的次数是________．答案 3解析 用辗转相除法可得204÷85＝2……34，85÷34＝2……17，34÷17＝2，此时可以判断 204 与 85 的最大公约数是 17，做了 3 次除法得出结果．题型二 更相减损术例 2 试用更相减损术求 612,396 的最大公约数．解 方法一 612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36，36－9＝27,2...
