高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例教学案 新人教B版必修3-新人教B版高一必修3数学教学案

1.3 预习课本 P27～32，思考并完成以下问题(1)如何求两个数的最大公约数？ (2)秦九韶算法的原理是什么？ 1．“更相减损之术”更相减损之术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大公约数．2．割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率 π 的方法．3．秦九韶算法把一元 n 次多项式函数 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写：P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，令 vk＝(…( a nx ＋ a n－1) x ＋…＋ a n－(k－1)) x ＋ a n－k，则递推公式为其中 k＝1,2，…，n.这样求一元 n 次多项式 P(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值，这种求 n 次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．1．用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时，需做减法的次数为( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，∴共进行 6 次减法．2．225 与 150 的最大公约数是( )A．15 B．30C．45 D．75解析：选 D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75)，所以 225 与 150 的最大公约数是75.3．已知多项式 f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求 f(－2)等于( )A．－ B.C. D．－解析：选 A f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，∴f(－2)＝－.4．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π 的实际值．解析：用割圆术法求出的是 π 的不足近似值．答案：小于求最大公约数[典例] 求 261 和 319 的最大公约数．[解] 319－261＝58，(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29) ， 所 以319 与 261 的最大公约数是 29.“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤第一步，给定两个正整数 m，n(m>n)．第二步，计算 m－n 所得的差 k.第三步，比较 n 与 k 的大小，其中大者用 m 表示，小者用 n 表示．第四步，若 m＝n，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则，返回第二步． [活学活用]1．用更相减损之术求 36 与 135 的最大公约数，...