第一章 三角函数1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式 l＝|α|r 和扇形面积公式 S＝|α|r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解
下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题
例 1 已知扇形的圆心为 60°，所在圆的半径为 10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积
解 设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 α＝60°＝，r＝10，所以 l＝αr＝，所以 S 弓＝S 扇－S△＝lr－r2sin α＝50
评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解
例 2 扇形的半径为 R，其圆心角 α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少
解 如图，设内切圆半径为 r
则(R－r)sin ＝r，所以 r＝，则内切圆的面积 S＝πr2＝π2＝πR22
因为＝，且 0＜≤，所以当＝，即 α＝π 时，Smax＝
评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解
例 3 已知扇形的周长为 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大
最大面积是多少
解 设扇形的圆心角为 α，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则有 l＋2r＝30，所以 l＝30－2r，从而 S＝lr＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－2＋cm2，所以当半径 r＝cm 时，扇形面积最大，为 cm2
这时 α＝＝2
评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值
此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题
针对练习：1
扇形的周长 C 一定时，它的圆心角 θ 取何值才能使扇形面积 S 最大
最大值是多少
在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，弧 AB
