高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案VIP专享

2．2 等差数列的前 n 项和第 1 课时 等差数列的前 n 项和知识点一 等差数列的前 n 项和公式 [填一填](1)等差数列前 n 项和公式为 Sn＝和 Sn＝na1＋d.(2)若数列{an}的前 n 项和公式 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)，则数列{an}为等差数列，其公差 d 为 2 A .[答一答]1．等差数列的前 n 项和有怎样的函数特性？提示：当等差数列的公差 d≠0 时，其前 n 项和 Sn是定义在正整数集上关于 n 的二次函数，即 Sn＝na1＋d＝n2＋n(不含常数项)，其图像是抛物线 y＝x2＋x 上的点(n，Sn)，但点的横坐标为正整数．若设 A＝，B＝a1－，则和式可写成 Sn＝An2＋Bn.① 当 A＝0，B＝0(即 a1＝0，d＝0)时，Sn＝0 是关于 n 的常函数；② 当 A＝0，B≠0(即 a1≠0，d＝0)时，Sn＝Bn 是关于 n 的一次函数；③ 当 A≠0，B≠0 时，Sn＝An2＋Bn 是关于 n 的二次函数，其中常数项为 0.知识点二 等差数列前 n 项和的最值 [填一填]在等差数列{an}中，若 a1>0 ， d <0 ，则 Sn 必有最大值，这时既可由二次函数最值确定n，也可用不等式组来确定 n；若 a1<0 ， d >0 ，则 Sn必有最小值，这时既可由二次函数最值确定 n，也可用不等式组来确定 n.[答一答]2．等差数列中前 n 项和 Sn的最值问题求法有哪些？提示：(1)在等差数列中，若 a1>0，d<0，则 Sn必有最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn必有最小值．(2)Sn的最值的求法：① 用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝An2＋Bn，通过配方或求二次函数最值的方法求得．但要注意求其正整数解．② 在等差数列中有关 Sn的最值问题除了借助二次函数图像求解，还常用邻项变量法来求解．当 a1>0，d<0 时，满足的项数 m，使 Sn取最大值．当 a1<0，d>0 时，满足的项数 m，使 Sn取最小值．1．注意等差数列前 n 项和公式的推导的方法，及利用该法计算数列求和题型的特点．2．求等差数列的前 n 项和 Sn的最值有 2 种方法：(1)由二次函数的最值特征求解：Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n＝2－2＝2－2.由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N＋知，当 n 取最接近－的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近－的正整数有时有 1 个，有时有 2 个．(2)根据项的正负求解．若 a1>0，d<0，则数列的所有非负数项之和为 Sn的最大值；若 a1<0，d>0，则数列的所有非正数项之和为 Sn的最小值．类型一 有关等差数列的基本量问题 【例 1】 ...