高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2 第2课时 等差数列的综合问题学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

第 2 课时 等差数列的综合问题知识点一 等差数列的性质 [填一填](1)若{an}为等差数列，则距首末距离相等的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即 a1＋ a n＝ a 2＋ a n－1＝ a 3＋ a n－2＝ … .(2)若{an}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且 m＋n＝p＋q，则 am＋ a n＝ a p＋ a q.(3)若{an}为等差数列，m，k，n 成等差数列，则 am，ak，an也成等差数列(m，k，n∈N＋)，即若 m＋n＝2k，则 am＋ a n＝ 2 a k.[答一答]1．对于性质：若{an}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq，请给出证明．提示：证明：设{an}的公差为 d，则 am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d， m＋n＝p＋q，∴am＋an＝ap＋aq.知识点二 等差数列前 n 项和的性质 [填一填](1)等差数列前 n 项和公式 Sn＝na1＋d 可写成 Sn＝n2＋n，即 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)的形式，当 A≠0 时(即 d≠0)，Sn是关于 n 的二次函数，其图像是抛物线 y＝Ax2＋Bx 上的一群孤立的点．(2)若{an}，{bn}都是等差数列，则{pan＋qbn}(p，q 为常数)是等差数列．(3)若等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)也是等差数列，其公差等于 k 2 d .(4)若等差数列{an}的项数为 2n(n∈N＋)，则 S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)，且 S偶－S 奇＝nd，＝.(5)若等差数列{an}的项数为 2n－1(n∈N＋)，则 S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，且 S 奇－S偶＝an，＝.[答一答]2．等差数列前 n 项和的“奇偶”性质：在等差数列{an}中，公差为 d，①若数列共有2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)，S 偶－S 奇＝nd，S 偶S 奇＝an＋1an；②若数列共有 2n＋1 项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S 偶－S 奇＝－an＋1，S 偶S 奇＝n( n＋1)．请给出证明．提示：证明：①若数列共有 2n 项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)，S 偶＝＝＝nan＋1，S 奇＝＝＝nan，S 偶－S 奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd，S 偶S 奇＝an＋1an；② 若数列共有 2n＋1 项，则S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，S 偶＝＝＝nan＋1，S 奇＝＝＝(n＋1)an＋1，S 偶－S 奇＝－an＋1，S 偶S 奇＝n(n＋1)．1．三数成等差数列的设法为：a－d，a，a＋d，其中 d 为公差；四数成等差数列的设...