2.3 直线和圆的极坐标方程 2. 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程教学建议1.通过例题分析,使学生掌握曲线的直角坐标方程和极坐标方程的转化技巧.2.借助于易错辨析使学生明确求解极坐标问题时应注意的事项.3.直角坐标系内曲线和极坐标系内曲线的区别(1)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).但在极坐标系内,虽然一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程 ρ1=1 和 ρ2=-1 表示的是同一个圆,所以曲线和它的方程不是一一对应的.(2)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程.例如给定曲线 ρ=θ,设点 P 的一个极坐标为,那么点 P 适合方程 ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点 P 的另一个极坐标就不适合方程 ρ=θ 了.所以在极坐标系内,某一个点 P 在某一曲线 C 上,当且仅当点 P 的极坐标中至少有一个适合曲线 C 的方程.备选习题1.已知 A,B 两点的极坐标分别为,求|AB|和△AOB 的面积.(其中 O 点为极点)解:在△AOB 中,A,B 两点的极坐标可写为,∴OA,OB 的长度分别为 3,5,夹角为∠AOB=π-π.∴|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB=34+15.∴|AB|=.S△AOB=·|OA|·|OB|sin∠AOB=×3×5×sinπ=.2.在△ABC 中,AB=6,AC=4,当∠A 变化时,求∠A 的平分线与 BC 的垂直平分线的交点 P 的轨迹.提示:由于本题中涉及变化的角度问题,因此可用建立极坐标系的方法求解,求解时列式的关键是点 P 在 BC 的垂直平分线上.解:如图,以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立极坐标系,设 P(ρ,θ),则|AP|=ρ.∵AP 为∠BAC 的平分线,∴∠BAP=∠PAC=θ.∵|AB|=6,|AC|=4,由余弦定理知|PC|2=|AP|2+|AC|2-2|AP|·|AC|cos θ=ρ2+42-8ρcos θ,|PB|2=|AP|2+|AB|2-2|AP|·|AB|cos θ=ρ2+62-12ρcos θ.∵P 在线段 BC 的垂直平分线上,∴|PB|=|PC|.∴ρ2+16-8ρcos θ=ρ2+36-12ρcos θ.∴ρcos θ=5.
